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满分5
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高中数学试题
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如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是A1B1、CC...
如图,已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2,E、F分别是A
1
B
1
、CC
1
的中点,过D
1
、E、F作平面D
1
EGF交BB
1
于G.
(Ⅰ)求证:EG∥D
1
F;
(Ⅱ)求二面角C
1
-D
1
E-F的余弦值;
(Ⅲ)求正方体被平面D
1
EGF所截得的几何体ABGEA
1
-DCFD
1
的体积.
(I)根据正方体的几何特征及面面平行的性质定理,易证得EG∥D1F; (Ⅱ)以D为原点分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面D1EGF的法向量和平面ABCD的法向量,代入向量夹角公式,即可得到答案; (III)几何体ABGEA1-DCFD1由正方体ABCD-A1B1C1D1减去一个棱台D1FC1-EGB1得到,分别求出正方体ABCD-A1B1C1D1的体积和棱台D1FC1-EGB1的体积,即可得到答案. 证明:(Ⅰ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1 平面D1EGF∩平面ABB1A1=EG,平面D1EGF∩平面DCC1D1=D1F, ∴EG∥D1F.(3分) 【解析】 (Ⅱ)如图,以D为原点分别以DA、DC、DD1为 x、y、z轴,建立空间直角坐标系,则有 D1(0,0,2),E(2,1,2),F(0,2,1), ∴=(2,1,0),=(0,2,-1) 设平面D1EGF的法向量为=(x,y,z) 则由•=0,和•=0,得, 取x=1,得y=-2,z=-4,∴=(1,-2,-4)(6分) 又平面ABCD的法向量为(0,0,2) 以二面角C1-D1E-F的平面角为θ, 则cosθ=||= 故截面D1EGF与底面ABCD所成二面角的余弦值为.(9分) 【解析】 (Ⅲ)设所求几何体ABGEA1-DCFD1的体积为V, ∵△EGB1∽△D1FC1,D1C1=2,C1F=1, ∴EB1=D1C1=1,B1G=C1F=, ∴=EB1•B1G=•1•=, =D1C1•C1F=•2•1=1(11分) 故V棱台D1FC1-EGB1= ∴V=V正方体-V棱台D1FC1-EGB1=23-=.(14分)
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考点分析:
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在一次考试中共有8道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且只有一个选项是正确的.评分标准规定:“每题只选一个选项,选对得5分,不选或选错得0分”.某考生已确定有4道题答案是正确的,其余题中:有两道只能分别判断2个选项是错误的,有一道仅能判断1个选项是错误的,还有一道因不理解题意只好乱猜,求:
(1)该考生得40分的概率;
(2)该考生得多少分的可能性最大?
(3)该考生所得分数的数学期望.
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已知{b
n
}是公比大于1的等比数列,b
1
,b
3
是函数f(x)=x
2
-5x+4的两个零点.
(I)求数列{b
n
}的通项公式;
(II)若数列{a
n
}满足a
n
=log
2
b
n
+n+2,且a
1
+a
2
+a
3
+…+a
m
≤63,求m的最大值.
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已知△ABC中,2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设向量
=(cosA,cos2A),
,求当
取最小值时,
值.
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选做题(请考生在以下三个小题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)
A.(选修4-4坐标系与参数方程)将参数方程
(e为参数)化为普通方程是
.
B.(选修4-5 不等式选讲)不等式|x-1|+|2x+3|>5的解集是
.
C.(选修4-1 几何证明选讲)如图,在△ABC中,AD是高线,CE是中线,|DC|=|BE|,DG⊥CE于G,且|EC|=8,则|EG|=
.
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若
,则函数y=tan2xtan
3
x的最大值为
.
查看答案
试题属性
题型:解答题
难度:中等
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