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已知函数在[1,+∞)上为增函数,且θ∈(0,π),,m∈R. (1)求θ的值;...

已知函数manfen5.com 满分网在[1,+∞)上为增函数,且θ∈(0,π),manfen5.com 满分网,m∈R.
(1)求θ的值;
(2)若f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求m的取值范围;
(3)设manfen5.com 满分网,若在[1,e]上至少存在一个x,使得f(x)-g(x)>h(x)成立,求m的取值范围.
(1)由题意可知.由θ∈(0,π),知sinθ>0.再由sinθ≥1,结合θ∈(0,π),可以得到θ的值. (2)由题设条件知.mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1,+∞)恒成立.由此知,由此可知m的取值范围. (3)构造F(x)=f(x)-g(x)-h(x),.由此入手可以得到m的取值范围是. 【解析】 (1)由题意,≥0在[1,+∞)上恒成立,即. ∵θ∈(0,π),∴sinθ>0.故sinθ•x-1≥0在[1,+∞)上恒成立,只须sinθ•1-1≥0, 即sinθ≥1,只有sinθ=1.结合θ∈(0,π),得. (2)由(1),得f(x)-g(x)=. ∴. ∵f(x)-g(x)在其定义域内为单调函数, ∴mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1,+∞)恒成立.mx2-2x+m≥0等价于m(1+x2)≥2x,即, 而,()max=1,∴m≥1.mx2-2x+m≤0等价于m(1+x2)≤2x,即 在[1,+∞)恒成立,而∈(0,1],m≤0. 综上,m的取值范围是(-∞,0]∪[1,+∞). (3)构造F(x)=f(x)-g(x)-h(x),. 当m≤0时,x∈[1,e],,, 所以在[1,e]上不存在一个x,使得f(x)-g(x)>h(x)成立. 当m>0时,. 因为x∈[1,e],所以2e-2x≥0,mx2+m>0, 所以(F(x))'>0在x∈[1,e]恒成立. 故F(x)在[1,e]上单调递增,,只要, 解得. 故m的取值范围是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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