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如图,ABCD为矩形,CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AB=4a,BC=...

如图,ABCD为矩形,CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AB=4a,BC=CF=2a,DE=a,P为AB的中点.
(1)求证:平面PCF⊥平面PDE;
(2)求证:AE∥平面BCF.

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(1)证明平面PCF内的直线PC,垂直平面PDE内的两条相交直线DE,PD,就证明了平面PCF⊥平面PDE; (2)作FC中点M,连接EM、BM,证明平面BCF内的直线BM与平面外的直线AE平行,即可根据线面平行的判定定理得到答案. 证明:(1)在矩形ABCD中,由AP=BP=BC=2a可得PC=PD=…(1分) 又CD=4a,由勾股定理可得PD⊥PC…(3分) 因为CF⊥平面ABCD,则PD⊥CF…(5分) 由PC∩CF=C可得PD⊥平面PFC…(6分) 故平面PCF⊥平面PDE…(7分) (2)作FC中点M,连接EM、BM 由CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD可得CM∥DE,又CM=DE=a,得四边形DEMC为平行四边形 故ME∥CD∥AB,且ME=D=AB,所以四边形AEMB为平行四边形故AE∥BM…(12分) 又AE⊄平面BCF,BM⊂平面BCF,所以AE∥平面BCF.…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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