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国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生凌霄在本科期间共申请了24000元助学贷款,并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元,第13个月开始,每月工资比前一个月增加5%直到4000元.凌霄同学计划前12个月每个月还款额为500,第13个月开始,每月还款额比上一月多x元.
(Ⅰ)若凌霄恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款,求x的值;
(Ⅱ)当x=50时,凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款?他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费?
(参考数据:1.0518=2.406,1.0519=2.526,1.0520=2.653,1.0521=2.786)
方法一:(I)前12个月每月还款500,后24个月每月多x元,此36个数相加等于24000,得到x的一次方程,求出即可. (II)设第n个月还清,前12个月每月还款500,后来(n-2)个月每月多还50,此n个数相加不小于24000,建立不等式解出n的范围.取最小 值. 方法二:(I)前12个月还款额是常数列,后二十四个月每月还款额构成一个等差数列,用数列公式求和,使和为24000,建立方程.解出每月应多还的数额. (II)前12个月还款额是常数列,后n-12个月每月还款额构成一个首项为500,公差为50的等差数列,用数列公式求和,使和不小于24000,建立不等式,解出n的范围,取最小整数. 【解析】 (Ⅰ)依题意,从第13个月开始, 每月还款额比前一个月多x元, 故12×500+(500+x)+(500+2x)+…+(500+24x)=24000 即36×500+(1+2+3+…+24)x=24000,解得x=20(元).(6分) 即要使在三年全部还清,第13个月起每个月必须比上一个月多还20元.(7分) (Ⅱ)设凌霄第n个月还清, 则应有12×500+(500+50)+(500+2×50)+…+[500+(n-12)×50]≥24000 即n2-3n-828≥0,解之得,取n=31.(10分) 即凌霄工作31个月就可以还清贷款. 这个月凌霄的还款额为 元(12分) 第31个月凌霄的工资为1500×1.0519=1500×2.526=3789元. 因此,凌霄的剩余工资为3789-450=3339, 能够满足当月的基本生活需求.(14分) 解法2:(Ⅰ)依题意,从第13个月开始, 每个月的还款额为an构成等差数列,其中a1=500+x,公差为x.(2分) 从而,到第36个月,凌霄共还款(4分) 令,解之得x=20(元).(6分) 即要使在三年全部还清,第13个月起每个月必须比上一个月多还20元.(7分) (Ⅱ)设凌霄第n个月还清,则应有 (8分) 整理可得n2-3n-828≥0,解之得,取n=31.(10分) 即凌霄工作31个月就可以还清贷款. 这个月凌霄的还款额为 元(12分) 第31个月凌霄的工资为1500×1.0519=1500×2.526=3789元. 因此,凌霄的剩余工资为3789-450=3339,能够满足当月的基本生活需求.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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