已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（1，）．（1）求椭圆C...

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为 manfen5.com 满分网

，且经过点P（1，

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M．问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点？
（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值．

（1）根据椭圆的离心率和经过点P建立关于a，b的方程组，解之即可求出椭圆的标准方程；（2）设M（x，y），则+=1，求出圆M的方程，令x=0，化简得到关于y的方程，然后利用判别式△＞0，可求出x的范围．（3）设D（0，y1），E（0，y2），其中y1＜y2．由（2），得DE=y2-y1转化成关于x的二次函数求最值进行求解即可．【解析】（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（1，）， ∴，即，解得， ∴椭圆C的方程为+=1．（2）易求得F（1，0）．设M（x，y），则+=1，-2＜x＜2 圆M的方程为（x-x）2+（y-y）2=（1-x）2+y2，令x=0，化简得y2-2yy+2x-1=0，△=4y2-4（2x-1）＞0①．将y2=3（1-）代入①，得3x2+8x-16＜0，解出-4＜x＜． ∴-2＜x＜．（3）设D（0，y1），E（0，y2），其中y1＜y2．由（2），得 DE=y2-y1===，当x=-时，DE的最大值为．

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考点分析：

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国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生凌霄在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．凌霄同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比上一月多x元．
（Ⅰ）若凌霄恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；
（Ⅱ）当x=50时，凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？
（参考数据：1.05¹⁸=2.406，1.05¹⁹=2.526，1.05²⁰=2.653，1.05²¹=2.786）

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如图，ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，DE=a，P为AB的中点．
（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求证：AE∥平面BCF．