Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（1）求b；
（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．
（3）讨论函数的零点个数？（提示：）

Answer

（1）根据f（-x）=f（x）建立等式关系，即可求出b的值；
（2）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，则在（0，1）上恒成立，然后将a分离出来，研究不等式另一侧的最值即可求出a的范围；
（3）令，研究该函数的单调性和极值，结合图形可判断函数的零点个数．
【解析】
（1）由f（-x）=（-x）2+bsin（-x）-2=f（x）得b=0．…（2分）
（2）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x2+2x+alnx所以…（4分）
依题意，或在（0，1）上恒成立…（6分）
即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由在（0，1）上恒成立，
可知a≤-4，所以a≥0或a≤-4．…（9分）
（3），令．
所以…（10分）
令y'=0，则x1=-1，x2=0，x3=1，列表如下：

x （-∞，-1） -1 （-1，0） （0，1） 1 （1，+∞）
y' + - + -
h（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值1 单调递增 极大值 单调递减

所以当时，函数无零点；
当k＜1或时，函数有两个零点；当k=1时，函数有三个零点．当时，函数有四个零点．…（16分）