Question

2009年5月11日，中国内地出现首例输入性甲型H1N1流感疑似病例．中国进入防控甲型H1N1流感的关键时期，到目前为止，中国在防控方面取得了令人满意的成绩．据统计：公众对我国防控甲型H1N1流感的满意率p，（不满意率为q，p+q=1），现随机从人群中抽出n个人调查对我国防控甲型H1N1流感的满意度，用随机变量x表示调查的这些人中的不满意的人数．
（1）当n=3，p=0.9，列出随机变量X的分布列，并求出随机变量x的数学期望E（X）．
（2）试证明：E（X）=nq．

Answer

（1）由题意得每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这3次独立重复试验中实件发生的次数．根据公式得到分布列．
（2）任取一个发生n次的独立重复试验，因满足二项分布得到分布列，设出成功概率是p，不成功概率是q，根据一般求期望的方法，得到期望的表示式，根据二项式系数的性质得到结果．
（1）【解析】
由题意得：每次试验中，事件发生的概率是相同的，
各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，
随机变量是这3次独立重复试验中实件发生的次数．∴X的取值是0、1、2、3
∴X的分布列是

故E（X）=3×0.9=2.7．
（2）证明：任取一个发生n次的独立重复试验，因满足二项分布得到分布列

∴E（X）=1×Cn1pn-1q+2×Cn2pn-2q2+…n×Cnnqn
=nq（Cn-1pn-1+Cn-11pn-2q+…+Cn-1n-1qn-1）
=nq（p+q）n-1
=nq