Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（1）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（2）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

Answer

（1）由已知中AA1=A1C，O为AC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得A1O⊥AC，又由已知中侧面AA1C1C⊥底面ABC，故A1O⊥平面ABC，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出直线A1C的方向向量与平面A1AB的法向量，代入空间向量夹角公式，即可得到直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；
（2）设出E点的坐标，根据OE∥平面A1AB，则OE的方向向量与平面A1AB的法向量垂直，数量积为零，我们可以求出E点坐标，进而确定E点的位置．
证明：（1）因为A1A=A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC．又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC．…（3分）
如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意可知A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=AC=1，
所以得：
则有：=（1，1，0）．
设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有 ，令y=1，得x=-1，z=-所以．                                          
 cos＜n，．
∴直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值为…（8分）
（2）设E=（x，y，z），，即，得      
所以，得，
令OE∥平面A1AB，得•n=0，
即-1+λ+2λ-λ=0，得λ=，
∴存在这样的点E，且E为BC1的中点．…（12分）