Question

设S_n是正项数列{a_n的前n项和，且．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等比数列{b_n}，使 a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2 对一切正整数n都成立？并证明你的结论．
（3）设，且数列{C_n}的前n项和为T_n，试比较与的大小．

Answer

（1）本题已知数列前n项和的表达式，求通项通常用an=Sn-Sn-1，求通项，再验证n=1时，是否适合所求的通式，若符合就写成统一式，否则，写成分段的形式；
（2）假设存在这样的等比数列{bn}，使 a1b1+a2b2+…+anbn=（2n-1）•2n+1+2 对一切正整数n都成立，故可先研究前两项，找出规律，提出猜想，再进行证明得出结论；
（3）由（1），将an=2n+1代入，求出Cn的表达式，再所其形式求出列{Cn}的前n项和为Tn，由和的形式与的比较即可得到它们的大小关系．
【解析】
（1）由Sn=+an-  得Sn+1=，
  相减并整理得 （an+1+an）（an+1-an-2）=0
  又由于an+1+an＞0，则an+1=an+2，故{an}是等差数列．
∵+a12-，所以a1=3
    故an=2n+1                                …4分
（2）当n=1，2时，a1b1=22（2×1-1）+2=6，
a1b1+a2b2=23（2×2-1）+2=26，可解得b1=2，b2=4，猜想bn=2n，使a1b1+a2b2+…
+anbn=2n+1（2n-1）+2成立．
证明：3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）2n=2n+1（2n-1）+2恒成立．
令S=3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）2n   ①
2S=3•22+5•23+7•24+…+（2n+1）2n+1 ②
②-①得：S=（2n+1）2n+1-2•2n+1+2=（2n-1）2n+1+2，
故存在等比数列{bn}符合题意…8分
（3）Cn=＜=（）
则Tn=c1+c2+…+cn（+…+）=（-）＜
故…12分