Question

已知p＞0，动点M到定点F的距离比M到定直线l：x=-p的距离小．
（I）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A，B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，，求△AOB面积的最小值；
（Ⅲ）在轨迹C上是否存在两点P，Q关于直线对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题设知动点M到定点F与到定直线的距离相等，点M的轨迹为抛物线，由此可求出轨迹C的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题设知x1x2+y1y2=0，x1x2=4p2，==16p4，由此导出△AOB面积最小值为4p2．
（Ⅲ）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x，y），由题设条件知，y=-pk，再由D（x，y）在上，知点D（x，y）在抛物线外，所以在轨迹C上不存在两点P，Q关于直线m对称．
【解析】
（Ⅰ）∵动点M到定点F与到定直线的距离相等
∴点M的轨迹为抛物线，轨迹C的方程为：y2=2px．（4分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
∵
∴x1x2+y1y2=0
∵y12=2px1，y22=2px2
∴x1x2=4p2
∴
=
=≥=16p4
∴当且仅当x1=x2=2p时取等号，△AOB面积最小值为4p2．（9分）

（Ⅲ）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x，y）
∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在轨迹C上
∴y32=2px3，y42=2px4
两式相减得：（y3-y4）（y3+y4）=2p（x3-x4）
∴
∴y=-pk
∵D（x，y）在上
∴，点D（x，y）在抛物线外
∴在轨迹C上不存在两点P，Q关于直线m对称．（14分）