Question

如图，已知抛物线y²=2px（p＞0），焦点为F，准线为直线l，P为抛物线上的一点，过点P作l的垂线，垂足为点Q．当P的横坐标为3时，△PQF为等边三角形．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的直线交抛物线于A，B两点，交直线l于点M，交y轴于G．
①若，，求证：λ₁+λ₂为常数；
②求的取值范围．

Answer

（1）利用抛物线的定义求出△PQF的边长为，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到|FQ|，列出方程求出p的值，得到抛物线的方程．
（2）①设出直线的方程，求出M，G的坐标，将已知条件，用坐标表示，求出λ1+λ2为常数．
②将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到A，B的坐标和与积，；利用向量的数量积公式表示出，将韦达定理得到值代入，求出其范围．
【解析】
（1）据题意知，P（3，），△PQF为等边三角形，其边长为，Q（，
所以，解得p=2
所以抛物线的方程y2=4x
（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x-1）
所以； 
M（-1，-3k），G（0，-k）
所以；
因为；
所以λ1=λ2=1，所以λ1+λ2=2
②由得k2x2-（2k2+4）x+k2=0
△=16k2+16＞0
所以，x1•x2=1，
y1•y2=k（x1-1）•k（x2-1）=-4；y1+y2=k（x1-1）+k（x2-1）=
所以=
=k2+1≥1
所以的取值范围为[1，+∞）