Question

已知函数f（x）=x³+2x²-ax+1．
（I）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为4，求实数a的值；
（II）若函数g（x）=f'（x）在区间（-1，1）上存在零点，求实数a的取值范围．

Answer

（I）求得f'（x）=3x2+4x-a，根据已知条件可得f′（1）=7-a=4，可以得出a=3；
（II）函数g（x）=f'（x）在区间（-1，1）上存在零点⇔直线y=a与曲线y=3x2+4x，x∈（-1，1）有公共点，求出函数y=3x2+4x在区间（1，1）上的值域，实数a也应在这个值域中，因此可以得到实数a的取值范围．
【解析】
由题意得g（x）=f'（x）=3x2+4x-a．
（I）f'（1）=3+4-a=4∴a=3；
（II）g（x）=f'（x）在区间（-1，1）上存在零点，
等价于3x2+4x=a在区间（-1，1）上有解，
也等价于直线y=a与曲线y=3x2+4x，x∈（-1，1）有公共点，
由函数y=g（x）的图象可得  ．