Question

设A={（x，y）|y≤-|x-3|}，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，b为常数，A∩B≠ϕ．
（1）b的取值范围是    ；
（2）设P（x，y）∈A∩B，点T的坐标为，若在方向上投影的最小值为，则b的值为    ．

Answer

（1）根据A={（x，y）|y≤-|x-3|}，利用函数图象的平移变换，由f（x）=|x|图象得到f（x）=|x-3|的图象，再利用函数图象的对称变换得到f（x）=-|x-3|的图象，因此可以求出集合A表示的平面区域，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，表示x轴上方的阴影区域沿y轴上下平移，根据A∩B≠ϕ可求得b的取值范围；（2）根据P（x，y）∈A∩B，得到x，y应满足的条件，根据向量数量积的几何意义即可表示出在方向上投影，再利用线性规划的知识求解即可．
【解析】
（1）先画出函数f（x）=|x|图象，再把该图象向右平移3个单位长度，得到f（x）=|x-3|的图象，
然后再作关于x轴的对称图象得到f（x）=-|x-3|的图象，
∴A={（x，y）|y≤-|x-3|}，
表示x轴下方阴影区域，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，
表示x轴上方的阴影区域沿y轴上下平移，
∵A∩B≠ϕ．
∴b≤-3；（2）∵设P（x，y）∈A∩B，
∴，
而=x+，
在方向上投影为，
根据线性规划可求当x=0，y=b时，取最小值，
代入解得b=-10．
故答案为：b≤-3；-10．