Question

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．．

Answer

（I）由已知条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB，结合和角公式化简可求cosB，进一步可求B，
（II）由（I）可得，由△ABC为锐角三角形，可得从而可得 A的范围，而sinA+sinC=sinA+sin（-A），利用差角公式及辅助角公式化简可得，从而可求．
【解析】
（I）由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB．
则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴，又0＜B＜π，
∴．
（Ⅱ）由A+B+C=π及，得．
又△ABC为锐角三角形，
∴
∴．
．
又，
∴．
∴．