Question

已知数列a_n的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=a_n+1-3n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列a_n+3是等比数列；
（Ⅱ）对k∈N^*，设求使不等式cos（mπ）[f（2m²）-f（m）]≤0成立的正整数m的取值范围．．

Answer

（I）把Sn和Sn+1相减整理求得an+1=2an+3，整理出3+an+1=2（3+an），判断出数列{3+an}是首项为4，公比为2的等比数列即可．
（II）把（I）中的an代入f（n），求得其通项公式，进而对m进行奇偶数讨论：①当m为偶数时②当m为奇数时结合二项式定理进行放缩，即可得出：当m∈1，3时，不等式cos（mπ）[f（2m2）-f（m）]≤0成立．
【解析】
（I）由Sn=a&n+1-3n-1，则Sn-1=an-3（n-1）-1，n≥2．
两式相减得an+1=2an+3，n≥2．
即．（2分）
又n=1时，．
∴数列an+3是首项为4，公比为2的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（I）知an+3=4•2n-1=2n+1，Sn=an+1-3n-1=2n+2-3n-4．
∴（5分）
①当m为偶数时，cos（mπ）=1，f（2m2）=2m2+1，f（m）=m+1，
∴原不等式可化为（2m2+1）-（m+1）≤0，
即2m2-m≤0．
故不存在合条件的m．（7分）
②当m为奇数时，cos（mπ）=-1，f（2m2）=2m2+1，f（m）=2m+1-1．
原不等式可化为2m2+1≥2m+1-1．
当m=1或3时，不等式成立．（9分）
当m≥5时，2m+1-1=2（1+1）m-1=2（Cm+Cm1+Cm2++Cmm-2+Cmm-1+Cmm）-1≥2m2+2m+3＞2m2+1．
∴m≥5时，原不等式无解．（11分）
综合得：当m∈{1，3}时，不等式cos（mπ）[f（2m2）-f（m）]≤0成立．（12分）