Question

已知，．数列a_n满足．
（Ⅰ）证明：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅱ）已知≥，证明：；
（Ⅲ）设T_n是数列a_n的前n项和，判断T_n与n-3的大小，并说明理由．．

Answer

（I）先根据得出下面用数学归纳法证明：0＜an＜an+1＜1．
（Ⅱ）要证，即证，其中．
令.．利用导数研究在上的最值问题，先求出函数的极值，往往求出的极大值就是最大值，即可证得即；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知从而
∴．
结合放缩法即可证明得Tn＞n-3．
【解析】
（I）∵，
∴．
∴．
∴．（1分）
下面用数学归纳法证明：0＜an＜an+1＜1．
①n=1时，，
故结论成立．
②假设n=k时结论成立，即．
∴，
即0＜ak+1＜ak+2＜1．
也就是说n=k+1时，结论也成立．
由①②可知，对一切n∈N*均有0＜an＜an+1＜1．（4分）
（Ⅱ）要证，即证，其中．
令.．
由，得．（6分）
x
g'（x） + -
g（x） ↗ 极大值 ↘

又g（1）=0，．
∴当，g（x）＞0．
∴．
∴．
即．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
．（11分）
∴．
∴．（13分）
又，
即．
∴Tn＞n-3．（14分）