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如图,三角形ABC中,AC=BC=manfen5.com 满分网,ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点.
(Ⅰ)求证:GF∥底面ABC;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EBC;
(Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V.

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(1)证法一:证明一条直线与一个平面平行,除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外,通常还可以通过平面与平面平行进行转化,比如取BE的中点H,连接HF、GH,根据中位线定理易证得:平面HGF∥平面ABC,进一步可得:GF∥平面ABC. 证法二:根据直线与平面平行的判定定理可知:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么直线和这个平面平行.故只需在平面ABC中找到与GF平行的直线即可.因为G、F分别是EC、BD的中点,故平移是可以通过构造特殊的四边形、三角形来实现. 证法三:根据直线与平面平行的判定定理可知:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么直线和这个平面平行.故只需在平面ABC中找到与GF平行的直线即可.因为G、F分别是EC、BD的中点,所以构造中位线是常用的找到平行直线的方法. (2)证明直线与平面垂直,关键要找到两条相交直线与之都垂直.有时候题目中没有现成的直线与直线垂直,需要我们先通过直线与平面垂直或者平面与平面垂直去转化一下.由第一问可知:GF∥平面ABC,而平面ABED⊥平面ABC,所以BE⊥平面ABC,所以BE⊥AC;又由勾股定理可以证明:AC⊥BC. (3)解决棱锥、棱柱求体积的问题,关键在于找到合适的高与对应的底面,切忌不审图形,盲目求解;根据平面与平面垂直的性质定理可知:CN⊥平面ABED,而ABED是边长为1的正方形,进一步即可以求得体积. 【解析】 (I)证法一:取BE的中点H,连接HF、GH,(如图) ∵G、F分别是EC和BD的中点 ∴HG∥BC,HF∥DE,(2分) 又∵ADEB为正方形∴DE∥AB,从而HF∥AB ∴HF∥平面ABC,HG∥平面ABC,HF∩HG=H, ∴平面HGF∥平面ABC ∴GF∥平面ABC(5分) 证法二:取BC的中点M,AB的中点N连接GM、FN、MN (如图) ∵G、F分别是EC和BD的中点 ∴(2分) 又∵ADEB为正方形∴BE∥AD,BE=AD ∴GM∥NF且GM=NF ∴MNFG为平行四边形 ∴GF∥MN,又MN⊂平面ABC, ∴GF∥平面ABC(5分) 证法三:连接AE, ∵ADEB为正方形, ∴AE∩BD=F,且F是AE中点,(2分) ∴GF∥AC, 又AC⊂平面ABC, ∴GF∥平面ABC(5分) (Ⅱ)∵ADEB为正方形,∴EB⊥AB,∴GF∥平面ABC(5分) 又∵平面ABED⊥平面ABC,∴BE⊥平面ABC(7分) ∴BE⊥AC 又∵CA2+CB2=AB2 ∴AC⊥BC, ∵BC∩BE=B, ∴AC⊥平面BCE(9分) (Ⅲ)连接CN,因为AC=BC,∴CN⊥AB,(10分) 又平面ABED⊥平面ABC,CN⊂平面ABC,∴CN⊥平面ABED.(11分) ∵三角形ABC是等腰直角三角形,∴,(12分) ∵C-ABED是四棱锥, ∴VC-ABED==(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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