Question

已知抛物线y²=8x的准线与双曲线相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线方程是，点F是抛物线的焦点，且△FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是（ ）
A．-=1
B．x²-=1
C．-=1
D．-y²=1

Answer

由题意已知抛物线y2=8x的准线与双曲线相交于A，B两点，点F是抛物线的焦点，且△FAB是直角三角形，由圆锥曲线的对称性可求得A，B的坐标分别为（-2，±4），将此点代入双曲线方程，得a，b的一个方程组，再由渐近线方程是，得到=，联立即可求得a，b的值，既得双曲线的标准方程
【解析】
由题意抛物线y2=8x的准线为x=-2，焦点坐标是（2，0），又抛物线y2=8x的准线与双曲线相交于A，B两点，△FAB是直角三角形知，A，B两点关于x轴对称，横坐标是-2，纵坐标是4与-4，将坐标（-2，±4）代入双曲线方程得  ①
又由双曲线的一条渐近线方程是，得=，②
由①②解得a=，b=4
所以双曲线的方程是-=1
故选C