Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N^*，点（a_n，S_n）都在直线2x-y-2=0的图象上．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2对一切n∈N^*都成立？若存在，求出{b_n}的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意得2an-Sn-2=0可得当n≥2时由2an-Sn-2=0，2an-1-Sn-1-2=0两式相减可得即an=2an-1可证
（2）假设存在等差数列bn，使得a1b1+a2b2+…+anbn=（n-1）•2n+1+2对一切n∈N*都成立，则n=1时，b1，当n≥2时由a1b1+a2b2+…+anbn=（n-1）•2n+1+2，a1b1+a2b2+an-1bn-1=（n-1-1）•2n+2，两式相减可求
【解析】
（I）由题意得2an-Sn-2=0（2分）
当n=1时，2a1-S1-2=0得a1=2
当n≥2时由2an-Sn-2=0（1）得2an-1-Sn-1-2=0（2）
（1）-（2）得2an-2an-1-an=0即an=2an-1（4分）
因为a1=2所以，
所以an是以2为首项，2为公比的等比数列
所以an=2•2n-1=2n（6分）
（2）假设存在等差数列bn，使得a1b1+a2b2++anbn=（n-1）•2n+1+2对一切n∈N*都成立
则当n=1时，a1b1=（1-1）•21+2得b1=1（8分）
当n≥2时由a1b1+a2b2++anbn=（n-1）•2n+1+2（3）
得a1b1+a2b2+an-1bn-1=（n-1-1）•2n+2（4）
（3）-（4）得anbn=n•2n即bn=n（10分）
当n=1时也满足条件，所以bn=n（11分）
因为为等差数列{bn}，故存在bn=n（n∈N*）满足条件（13分）