Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）在CC₁上是否存在一点E，使得∠BA₁E=45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A₁BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先证明 A1B⊥面AB1C1，得到 A1B⊥B1C1，又 BB1⊥B1C1，从而证得 B1C1⊥平面ABB1A1 ．
（2）设AB=BB1=a，CE=x，求出 BE和A1E，在△A1BE中，由余弦定理得到 =2a-x，解得x的值，
可知E是C1C的中点，故DE∥AC1，由AC1⊥平面A1BD，可得DE⊥平面A1BD，平面ABD⊥平面BDE．
【解析】
（1）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∵AB=B1B，∴四边形ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，
又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥面AB1C1，∴A1B⊥B1C1．
又在直棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A1 ．
（2）证明：设AB=BB1=a，CE=x．由AC1⊥平面A1BD可得AC1⊥BD，且AC1⊥A1D，
再由直三棱柱的性质可得 CC1⊥BD，故BD⊥平面ACC1A1，故BD⊥AC．
∵D为AC的中点，故△BAC为等腰三角形，∴A1B=A1C1=a．
又∵B1C1⊥平面ABB1A1 ，B1C1⊥A1B1，∴B1C1=a，BE=，
A1E==，在△A1BE中，由余弦定理得BE2=A1B2+A1E2-2A1B•A1E•cos45°，
即a2+x2=2a2+3a2+x2-2ax-2 •a•，
∴=2a-x，解得x= a，即E是C1C的中点．
∵D．E分别为AC．C1C的中点，∴DE∥AC1，
∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD，又∵DE⊂平面BDE，∴平面ABD⊥平面BDE．