Question

设{a_n}是等差数列，其前n项的和为S_n．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设{a_n}各项为正数，a₁=，a₁≠a₂，若存在互异正整数m，n，p满足：①m+p=2n；②．求集合{（x，y）|S_x•S_y=1，x∈N^*，y∈N^*}的元素个数；
（3）设b_n=（a为常数，a＞0，a≠1，a₁≠a₂），数列{b_n}前n项和为T_n．对于正整数c，d，e，f，若c＜d＜e＜f，且c+f=d+e，试比较（T_c）^-1+（T_f）^-1与（T_d）^-1+（T_e）^-1的大小．

Answer

（1）{an}是等差数列，可以用首项a1和公差d来表示前n项的和为Sn再将其代入的表达式，再用相邻两项作差的方法，得到相邻两项的差为常数，从而证出数列为等差数列；
（2）根据（1）中的结论，先设（其中α、β为常数），从而Sn=αn2+βn．将此式代入已知式中第二个等式，通过整理变形得β=0，再结合结合首项a1=，得α=，故Sn=n2．然后利用此表达式将集合{（x，y）|Sx•Sy=1，x∈N*，y∈N*}化简为{（x，y）|xy=15，x∈N*，y∈N*}，根据15有4个正约数，得到满足条件的数对（x，y）的个数为4个；
（3）根据等比数列的定义证出数列{bn}为等比数列，然后证明等比数列的一个结论：当n＞m时，Tn＞Tn-Tn-m=qn-mTm．利用这个结论，结合c+f=d+e可以证得（Tc）-1-（Td）-1比（Te）-1-（Tf）-1大，最后通过移项证得（Tc）-1+（Tf）-1＞（Td）-1+（Te）-1．
【解析】
（1）{an}为等差数列，设其公差为d，则
，于是（常数），
故数列是a1为首项，公差为的等差数列．
（2）因为{an}为等差数列，所是等差数列，
于是可设（其中α、β为常数），从而Sn=αn2+βn．
因为m+p=2n，所以由两边平方得
Sm+Sp+=4Sn，即得，
于是，两边平方并整理得β2（m-p）2=0．
因为m≠p，所以β=0，从而Sn=αn2，而a1=，所以．
故Sn=n2．所以{（x，y）|Sx•Sy=1，x∈N*，y∈N*}={（x，y）|=1，x∈N*，y∈N*}={（x，y）|xy=15，x∈N*，y∈N*}．
因为15有4个正约数，所以数对（x，y）的个数为4个．
即集合{（x，y）|Sx•Sy=1，x∈N*，y∈N*}中的元素个数为4．
（3）因为（常数），
所以数列{bn}是正项等比数列．
因为a1≠a2，所以等比数列{bn}的公比q≠1．
（Tc）-1+（Tf）-1与（Td）-1+（Te）-1的大小关系即（Tc）-1-（Td）-1与（Te）-1-（Tf）-1的大小关系
注意到当n＞m时，Tn＞Tn-Tn-m=qn-mTm．
所以Td＞qd-cTc且Tf＞qf-eTe⇒（Tc）-1-（Td）-1=＞=（Te）-1-（Tf）-1
移项可得（Tc）-1+（Tf）-1＞（Td）-1+（Te）-1．