Question

已知函数f（x）=e^x，直线l的方程为y=kx+b．
（1）求过函数图象上的任一点P（t，f（t））的切线方程；
（2）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）成立，求实数k、b应满足的条件．

Answer

（1）对函数求导，得到函数的导函数，即得到了函数在某一点的切线的斜率，用点斜式写出切线的方程．
（2）根据切线的方程，写出斜率和截距，构造新函数，对新函数求导，得到在x∈（-∞，t）上单调递减，在x∈（t，+∞）为单调递增，即得到函数的最小值，根据函数思想得到不等式成立．
（3）构造新函数，对新函数求导，判断函数的单调性，针对于k的不同值，函数的单调性不同，需要进行讨论，求出函数的最小值，得到要写的条件．
【解析】
（1）函数f（x）=ex，
分析可得f（x）=ex与直线相切，只有一个交点即切点，
故过函数图象上的任一点P（t，f（t））的切线中P即为切点，
∵f'（x）=ex，
∴切线l的方程为y-et=et（x-t）
即y=etx+et（1-t）
（2）由（1）
记函数F（x）=f（x）-kx-b，
∴F（x）=ex-etx-et（1-t）
∴F'（x）=ex-et
∴F（x）在x∈（-∞，t）上单调递减，在x∈（t，+∞）为单调递增
故F（x）min=F（t）=et-ett-et（1-t）=0
故F（x）=f（x）-kx-b≥0即f（x）≥kx+b对任意x∈R成立
（3）设H（x）=f（x）-kx-b=ex-kx-b，x∈[0，+∞）
∴H'（x）=ex-k，x∈[0，+∞）
①当k≤1时，H'（x）≥0，则H（x）在x∈[0，+∞）上单调递增
∴H（x）min=H（0）=1-b≥0，
∴b≤1，即符合题意
②当k＞1时，H（x）在x∈[0，lnk）上单调递减，x∈[lnk，+∞）上单调递增
∴H（x）min=H（lnk）=k-klnk-b≥0
∴b≤k（1-lnk）
综上所述满足题意的条件是或