Question

一个多面体的直观图，正（主）视图，侧（左）视图如下所示，其中正（主）视图、侧（左）视图为边长为a的正方形．
（1）请在指定的框内画出多面体的俯视图；
（2）若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA₁的中点，求证：OE∥平面A₁C₁C；
（3）求该多面体的表面积．

Answer

（1）根据多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图，得到俯视图．
（2）连接AC，BD交于O点，因为E为AA1的中点，可得OE为△AA1C的中位线，OE∥A1C，从而证得OE∥平面A1C1C．
（3）由三示图可知多面体表面共包括10个面，SABCD=a2，，再求出，的值，由表面积 ，运算求出结果．
【解析】
（1）根据多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图，得到俯视图如下：
（2）证明：如图，连接AC，BD交于O点，因为E为AA1的中点，O为AC的中点，所以在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线，
所以OE∥A1C，∵OE⊄平面A1C1C，A1C1⊂平面A1C1C，
所以OE∥平面A1C1C．
（3）由三示图可知多面体表面共包括10个面，SABCD=a2，，，，
所以表面积．