Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（1）当t为何值时，数列{a_n}为等比数列？
（2）在（1）的条件下，若等差数列{b_n}的前n项和T_n有最大值，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

Answer

（1）先由an+1=2Sn+1求出an+1=3an．再利用数列{an}为等比数列，可得a2=3a1．就可以求出t值．
（2）先利用T3=15求出b2=5，，再利用公差把b1和b3表示出来．代入a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求出公差即可求Tn．
【解析】
（1）由an+1=2Sn+1  ①可得an=2sn-1+1  （n≥2）②
 两式作差得 an+1-an=2an⇒an+1=3an．
因为数列{an}为等比数列⇒a2=2s1+1=2a1+1=3a1⇒a1=t=1．
所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列 
∴an=3n-1．
（2）设等差数列{bn}的公差为d，
由T3=15⇒b1+b2+b3=15⇒b2=5，
所以可设b1=5-d，b3=5+d．
又a1=1，a2=3，a3=9．
由题得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）2．⇒d=-10，d=2．
因为等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且b2=5，所以d=-10．
解得b1=15，
所以Tn=15n+=20n-5n2．