Question

P_n（x_n，y_n）是函数y=x²（x≥0）图象上的动点，以P_n为圆心的⊙P_n与x轴都相切，且⊙P_n与⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，x_n+1＜x_n．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设⊙P_n的面积为S_n，求证：．

Answer

（1）由圆Pn与Pn+1相切，且Pn+1与x轴相切可知Rn=Yn，R（n+1）=Y（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和进而得到=Yn+Y（n+1），整理得，=2，原式得证．
（2）由（1）可知 =2n-1，进而求得xn的通项公式，代入⊙Pn的面积即可求得的表达式为Sn=（ ）4，要证 ＜，只需证明（x1）2+（x2）2+…（xn）2＜即可．根据1+（ ）2+（ ）2+…（ ）2=1+（ ）2+（ ）2+（ ）2+…（ ）2，且1+（ ）2+（ ）2+（ ）2+…（ ）2＜2，进而可得1+（ ）2+（ ）2+…（ ）＜，进而得Tn=＜
【解析】
（1）证：由⊙Pn与x轴都相切，知⊙Pn的半径rn=yn=xn2；又⊙Pn与⊙Pn+1外切，得：⇒（xn-xn+1）2=4ynyn+1=4xn2xn+12．
由xn＞xn+1＞0得：xn-xn+1=2xnxn+1，
故是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）S1=π（x1）4S2=π（x2）4…Sn=π（xn）4
约去 证明（x1）2+（x2）2+…（xn）2＜即可
由（1）知（x1）2+（x2）2+…（xn）2
=1+（ ）2+（ ）2+…（ ）2
因为1+（ ）2+（ ）2+（ ）2+…（ ）2
=[1+（ ）2+（ ）2+…（ ）2]+[1+（ ）2+（ ）2+（ ）2+…（ ）2]
即1+（ ）2+（ ）2+…（ ）2=1+（ ）2+（ ）2+（ ）2+…（ ）2
又因为 1+[（ ）2+（ ）2+（ ）2+（ ）2+（ ）2+（ ）2]+（ ）2+…
＜1+[（ ）2+（ ）2+（ ）2+（ ）2+（ ）2+（ ）2+8（ ）2+…
=1+++…=2
即就是1+（ ）2+（ ）2+（ ）2+…（ ）2＜2
所以 1+（ ）2+（ ）2+…（ ）＜×2=
即1+（ ）2+（ ）2+…（ ）＜
所以 ＜
即