Question

已知函数f（x）=2x³-3ax²+1．
（1）若x=1为函数f（x）的一个极值点，试确定实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）先求导函数，然后根据x=1为函数f（x）的一个极值点，则f'（1）=0求出a的值，最后利用导数符号确定函数的极值点，代入原函数，求出极值即可；
（2）讨论a的正负，然后分别解f′（x）＞0与f′（x）＜0，即可求出函数的单调区间．
【解析】
（1）∵f（x）=2x3-3ax2+1，∴f'（x）=6x2-6ax．依题意得f'（1）=6-6a=0，解得a=1．
所以f（x）=2x3-3x2+1，f'（x）=6x（x-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=1．列表如下：

x （-∞，0） （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以当x=0时，函数f（x）取得极大值f（0）=1；
当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0．
（2）∵f′（x）=6x2-6ax=6x（x-a），
∴①当a=0时，f′（x）=6x2≥0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，f′（x）=6x（x-a），f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：

x （-∞，0） （0，a） a （a，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

由上表可知，函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；
③同理可得，当a＜0时，函数f（x）在（-∞，a）上单调递增，在（a，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
综上所述，当a=0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（a，+∞），单调递减区间是（0，a）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，a）和（0，+∞），单调递减区间是（a，0）．