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已知函数. (1)若函数f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围; ...

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(1)若函数f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值为3,求实数a的值.
(1)先求导数:.根据f(x)在[2,+∞)上是增函数,得出a≤在[2,+∞)上恒成立.令,则a≤[g(x)]min,从而求得实数a的取值范围; (2)由(1)得,x∈[1,e].下面对2a进行分类讨论:①若2a<1,②若1≤2a≤e,③若2a>e,分别讨论函数f(x)在[1,e]上的最小值为3列出等式求出a值即可. 【解析】 (1)∵,∴. ∵f(x)在[2,+∞)上是增函数, ∴≥0在[2,+∞)上恒成立,即a≤在[2,+∞)上恒成立. 令,则a≤[g(x)]min,x∈[2,+∞). ∵在[2,+∞)上是增函数,∴[g(x)]min=g(2)=1. ∴a≤1. 所以实数a的取值范围为(-∞,1]. (2)由(1)得,x∈[1,e]. ①若2a<1,则x-2a>0,即f'(x)>0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上是增函数. 所以[f(x)]min=f(1)=2a=3,解得(舍去). ②若1≤2a≤e,令f'(x)=0,得x=2a. 当1<x<2a时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,2a)上是减函数, 当2a<x<e时,f'(x)>0,所以f(x)在(2a,e)上是增函数. 所以[f(x)]min=f(2a)=ln(2a)+1=3,解得(舍去). ③若2a>e,则x-2a<0,即f'(x)<0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上是减函数. 所以,所以a=e. 综上所述,a=e.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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