Question

已知函数．
（1）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．

Answer

（1）先求导数：．根据f（x）在[2，+∞）上是增函数，得出a≤在[2，+∞）上恒成立．令，则a≤[g（x）]min，从而求得实数a的取值范围；
（2）由（1）得，x∈[1，e]．下面对2a进行分类讨论：①若2a＜1，②若1≤2a≤e，③若2a＞e，分别讨论函数f（x）在[1，e]上的最小值为3列出等式求出a值即可．
【解析】
（1）∵，∴．
∵f（x）在[2，+∞）上是增函数，
∴≥0在[2，+∞）上恒成立，即a≤在[2，+∞）上恒成立．
令，则a≤[g（x）]min，x∈[2，+∞）．
∵在[2，+∞）上是增函数，∴[g（x）]min=g（2）=1．
∴a≤1．
所以实数a的取值范围为（-∞，1]．
（2）由（1）得，x∈[1，e]．
①若2a＜1，则x-2a＞0，即f'（x）＞0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上是增函数．
所以[f（x）]min=f（1）=2a=3，解得（舍去）．
②若1≤2a≤e，令f'（x）=0，得x=2a．
当1＜x＜2a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（1，2a）上是减函数，
当2a＜x＜e时，f'（x）＞0，所以f（x）在（2a，e）上是增函数．
所以[f（x）]min=f（2a）=ln（2a）+1=3，解得（舍去）．
③若2a＞e，则x-2a＜0，即f'（x）＜0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上是减函数．
所以，所以a=e．
综上所述，a=e．