Question

已知a∈R，函数f（x）=x²|x-a|．
（1）当a=2时，求使f（x）=x成立的x的集合；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer

（Ⅰ）把a=2代入函数解析式，根据绝对值的符号分为两种情况，即x＜2和x≥2分别求解对应方程得根，再把所有的根用列举法表示出来．
（Ⅱ）根据区间[1，2]和绝对值内的式子进行分类讨论，即a≤1、1＜a≤2和a≥3三种情况，分别求出解析式和它的导函数，利用导函数的符号判断在闭区间上的单调性，再求最小值；当a≥3时最小值可能取在区间的两端，再通过作差和分类进行比较两个函数值的大小，最后用分段函数表示函数的最小值．
【解析】
（Ⅰ）由题意，f（x）=x2|x-2|
当x＜2时，由f（x）=x2（2-x）=x，解得x=0或x=1；
当x≥2时，由f（x）=x2（x-2）=x，解得x=1+．
综上，所求解集为{0，1，1+}
（Ⅱ）设此最小值为m．
①当a≤1时，在区间[1，2]上，f（x）=x3-ax2，
∵f′（x）=3x2-2ax=3x（x-a）＞0，x∈（1，2），
则f（x）是区间[1，2]上的增函数，∴m=f（1）=1-a．
②当1＜a≤2时，在区间[1，2]上，f（x）=x2|x-a|≥0，由f（a）=0知m=f（a）=0．
③当a＞2时，在区间[1，2]上，f（x）=ax2-x3
f′（x）=2ax-3x2=3x（a-x）．
若a≥3，在区间（1，2）上，f'（x）＞0，则f（x）是区间[1，2]上的增函数，
∴m=f（1）=a-1．
若2＜a＜3，则1＜a＜2．
当1＜x＜a时，f'（x）＞0，则f（x）是区间[1，a]上的增函数，
当a＜x＜2时，f'（x）＜0，则f（x）是区间[a，2]上的减函数，
因此当2＜a＜3时，故m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．
当2＜a≤时，4（a-2）≤a-1，故m=f（2）=4（a-2），
当＜a＜3时，4（a-2）＜a-1，故m=f（1）=a-1．
总上所述，所求函数的最小值m=．