Question

将函数在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）先利用三角函数的诱导公式及二倍角公式化简函数f（x），令的极值点，判断出全部极值点按从小到大排列构成以为首项，为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项．
（2）利用bn=sinan•sinan+1•sinan+2，求出bn+1作商，利用等比数列的定义判断出{bn}是以为首项，-1为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出通项，进一步求出数列{an•bn}的通项，利用错位相减法求出前n项的和．
【解析】
（1）∵ 
=．
令
解得，
所以f（x）的极值点为，
从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以为首项，为公差的等差数列，
∴．
（2）由知对任意正整数n，an都不是π的整数倍，
所以sinan≠0，
从而bn=sinansinan+1sinan+2≠0，
于是，，
∴{bn}是以为首项，-1为公比的等比数列，
∴．
∴，
•（-1）n-1）
所以+•（2n-1）（-1）n）
两式相减得，
数列{an•bn}的前n项和为．