Question

已知数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：1，2，，…；当a=-时，得到有穷数列：-，-1，0．
（Ⅰ）求当a为何值时a₄=0；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=（n∈N₊），求证a取数列{b_n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；
（Ⅲ）若＜a_n＜2（n≥4），求a的取值范围．

Answer

（I）解法1：由设条件知an=，由a4=0，导出a3=-1，进而导出a2=-，由此可知a=a1=-．
解法2：由a1=a，an+1=1+，可以推导出a4=0，由此可知a=-．
（II）由bn+1=，知bn=+1，若a=bn，则由题设条件能够推出an=1+=0所以数列{an}只能有n项为有穷数列．
（III）由题设条件可知（n≥5），由此能够推出a的取值范围．
【解析】
（I）解法1：∵an+1=1+，∴an=，∵a4=0，∴a3=-1，a2=-，a=a1=-；
解法2：∵a1=a，an+1=1+，∴a2=．a3=，a4=，∵a4=0，∴a=-．
（II）∵bn+1=，∴bn=+1，
若a取数列{bn}的一个数bn，即a=bn，则a2=1+=1+=bn-1，a3=1+=1+=bn-2，
∴an-1=b1=-1，∴an=1+=0
所以数列{an}只能有n项为有穷数列．
（III）解法一：因为＜an＜2（n≥4）⇒（n≥5）⇒⇒＜an-1＜2（n≥5）
所以＜an＜2（n≥4）⇒＜a4＜2⇒＜＜2⇒a＞0
这就是所求的取值范围．