Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：，，且对于任意实数x，y，总有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（I）求f（0）的值，并证明函数f（x）为偶函数；
（II）定义数列{a_n}：a_n=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求证：{a_n}为等比数列；
（III）若对于任意非零实数y，总有f（y）＞2．设有理数x₁，x₂满足|x₁|＜|x₂|，判断f（x₁）和f（x₂）的大小关系，并证明你的结论．

Answer

（1）令x=1，y=0代入，根据可确定f（0）的值；再令x=0可得证．
（2）表示出通项an，由等比数列的定义可证．
（3）根据有f（y）＞2可证明f[（k+1）y]＞f（ky），再根据x1，x2是有理数可以表示成，且，令，t=q1p2，s=p1q2，则t，s∈N可以得到答案．
【解析】
（I）令x=1，y=0
∴f（1）•f（0）=f（1）+f（1）
∵，
∴f（0）=2．
令x=0，
∴f（0）f（y）=f（y）+f（-y）即2f（y）=f（y）+f（-y）
∴f（y）=f（-y），对任意的实数y总成立．
∴f（x）为偶函数．
（II）令x=y=1，得f（1）f（1）=f（2）+f（0）．
∴．
∴．
∴．
令x=n+1，y=1，得f（n+1）f（1）=f（n+2）+f（n）．
∴．
an+1=2f（n+2）-f（n+1）
=
=2[f（n+1）-2f（n）]=2an（n≥1）
∴{an}是以6为首项，以2为公比的等比数列．
（III）结论：f（x1）＜f（x2）．
证明：设y≠0
∵y≠0时，f（y）＞2，
∴f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）＞2f（x），即f（x+y）-f（x）＞f（x）-f（x-y）．
∴对于k∈N，总有f[（k+1）y]-f（ky）＞f（ky）-f[（k-1）y]成立．
∴f[（k+1）y]-f（ky）＞f（ky）-f[（k-1）y]＞f[（k-1）y]-f[（k-2）y]＞…＞f（y）-f（0）＞0．
∴对于k∈N总有f[（k+1）y]＞f（ky）成立．
∴对于m，n∈N，若n＜m，则有f（ny）＜f（my）成立．
∵x1，x2∈Q，所以可设，其中q1，q2是非负整数，p1，p2都是正整数，
则．
令，t=q1p2，s=p1q2，则t，s∈N．
∵|x1|＜|x2|，∴t＜s
∴f（ty）＜f（sy），即f（|x1|）＜f（|x2|）．
∵函数f（x）为偶函数．
∴f（|x1|）=f（x1），f（|x2|）=f（x2）．
∴f（x1）＜f（x2）．