Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E．F分别是PC．PD的中点，PA=AB=1，BC=2．
（I）求证：EF∥平面PAB；
（II）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（III）求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer

（I）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，进而可求出直线EF，AB的方向向量，利用向量法，可证EF∥AB，进而线面平行的判定定理，得到答案．
（II）根据（I）中各向量的坐标，我们易得到•=0，•=0，即AP⊥DC，AD⊥DC，根据线面垂直的判定定理，我们可以得到DC⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PAD⊥平面PDC；
（III）分别求出平面APD与平面BPD的法向量，然后代入向量夹角公式，即可求出二面角A-PD-B的余弦值．
【解析】
以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1）
∴E=（，1，），F（0，1，），
∴=（-，0，0），=（1，0，-1），=（0，2，-1），=（0，0，1），
=（0，2，0），=（1，0，0），=（1，0，0），
（Ⅰ）∵=（-，0，0），=（1，0，0），
∴∥
∴EF∥AB，
又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（Ⅱ）∵•=（1，0，0）•（0，0，1）=0，
•=（0，2，0）•（1，0，0）=0，
∴⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC．
又∵AP∩AD=A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴DC⊥平面PAD．∵DC⊂平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC．
（Ⅲ）设平面PBD的一个法向量，则
∴，即，解得平面APC的一个法向量．
而平面APD的一个法向量是=（1，0，0），设二面角A-PD-B为θ，
则cosθ==．
即二面角A-PD-B的余弦值为．