Question

在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，平面CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=．
（I）证明：FO∥平面CDE；
（II）设BC=λCD，是否存在实数λ，使EO⊥平面CDF，若不存在请说明理由；若存在，试求出λ的值．

Answer

（Ⅰ）要证FO∥平面CDE，只需通过平行四边形来证FO∥EM即可．
（II）连接FM，OM，易证EO⊥CD，若EO⊥平面CDF，则只需EO⊥FM，只需四边形EFOM为菱形，即EF=EM，由（I）和已知条件，EF=BC，在等边三角形CDE中EM=，从而求出λ的值．
【解析】
（Ⅰ）证明：取CD中点M，连接OM．（1分）
在矩形ABCD中，OM BC，又EF BC，则EF OM，（3分）
连接EM，于是四边形EFOM为平行四边形．
∴FO∥EM（5分）
又∵FO⊄平面CDE，且EM⊂平面CDE，
∴FO∥平面CDE（6分）
（II）证明：存在实数λ=，使EO⊥平面CDF
连接FM，OM在等边三角形CDE中，CD⊥EM
又CD⊥OM，∴CD⊥平面EOM，∴EO⊥CD
若EO⊥平面CDF，则只需EO⊥FM，只需四边形EFOM为菱形，即EF=EM
又由（I）和已知条件，EF=BC，在等边三角形CDE中EM=
所以λ=时，EO⊥平面CDF