Question

在单调递增数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差数列，a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比数列，n=1，2，3，…．
（1）分别计算a₃，a₅和a₄，a₆的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式（将a_n用n表示）；
（3）设数列的前n项和为S_n，证明：，n∈N^*．

Answer

（1）由a1=1，a2=2，且a2n-1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列递推可得a3=3，a5=6，，a6=8．
（2）由（1）猜想出通项公式，再用数学归纳法证明，要注意递推的严密性，
（3）由（1）求得，用数学归纳法证明．
【解析】
【解析】
（1）由已知，得a3=3，a5=6，，a6=8．（2分）
（2），，，；，，，．
∴猜想，，n∈N*，（4分）
以下用数学归纳法证明之．
①当n=1时，a2×1-1=a1=1，，猜想成立；
②假设n=k（k≥1，k∈N*）时，猜想成立，即，，
那么，．
∴n=k+1时，猜想也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n∈N*，猜想成立．（6分）
∴当n为奇数时，；
当n为偶数时，．
即数列{an}的通项公式为．（9分）
（3）由（2），
得．
以下用数学归纳法证明，n∈N*．
①当n=1时，；
当n=2时，．
∴n=1，2时，不等式成立．（11分）
②假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即，
那么，当k为奇数时，
=；
当k为偶数时，
=．
∴n=k+1时，不等式也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n∈N*，不等式成立．（14分）