Question

把一枚骰子投掷两次，第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．
（Ⅰ）记事件A为“方程组 只有一组解”，求事件A的概率；
（Ⅱ）记事件B为“方程组 有解”，求事件B的概率．

Answer

（I）将方程组的解的个数转化为直线ax+by=5与圆x2+y2=1的交点个数．利用点到直线的距离公式得到方程只有一组解即，利用古典概型的概率公式求出概率．
（II）“方程组 有解”即，列出包含的所有基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．
【解析】
（Ⅰ）依题意知，方程组的解的个数，
就是直线ax+by=5与圆x2+y2=1的交点个数．
设圆心O（0，0）到直线ax+by=5的距离是d，则，
∵圆的半径是1，
∴当d=1，即a2+b2=25时，直线与圆相切，此时方程组只有一组解．
∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}，
∴时，a2+b2=25，
而投掷两次骰子，a，b所有的情况有36种，
所以方程组只有一组解的概率是．
（Ⅱ）要使方程组有解，由（Ⅰ）得，，
所以a，b有（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），
（6，4），（6，5），（6，6），（3，4），（4，3）共有23种情况．
∴．