Question

已知函数f（x）=ax³+x²-bx+4（a≠0）在x=1处取到极值．
（Ⅰ）求a，b满足的关系式；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）+2x＞1-6ax；
（Ⅲ）当时，给定定义域为D=[0，1]时，函数y=f（x）是否满足对任意的x₁，x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．

Answer

（I）先求出函数的导函数，然后根据函数在x=1处取到极值，则f'（1）=0建立等式关系，从而求出a，b满足的关系式；
（II）将f（x）的解析式代入，然后化简整理提取公因式，讨论a的正负，从而求出不等式的解集；
（III）利用导数研究函数在[0，1]上的最值，然后只需使|f（x）max-f（x）min|＜1成立即可．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2x-b
∵函数f（x）=ax3+x2-bx+4（a≠0）在x=1处取到极值
∴f'（1）=3a+2-b=0即b=3a+2
（Ⅱ）f（x）+2x＞1-6ax即ax3+x2-（3a+2）x+4+2x＞1-6ax⇔ax3+x2+3ax+3＞0⇔（x2+3）（ax+1）＞0⇔ax+1＞0
故：当a＞0时，不等式的解集为
当a＜0时，不等式的解集为
（Ⅲ）f（x）=ax3+x2-（3a+2）x+4∴f'（x）=3ax2+2x-（3a+2）
令
由，故可知x1，x2∈[0，1]时f（x）max=f（0）=4，f（x）min=f（1）=3-2a
∴x1，x2∈D时，|f（x1）-f（x2）|≤1+2a＜1故函数f（x）满足条件．