Question

已知数列{a_n}的前n 项和S_n是关于n（n∈N^*）的二次函数，其图象经过三点A，B，C（如图所示）．
（1）（本小题7分） 求S_n的解析式；
（2）（本小题8分）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}是等差数列．

Answer

（1）由已知中函数图象中A（1，-4），B（2，-4），C（4，8），我们设出数列{an}的前n 项和Sn的表达式，进而根据待定系数法，求出Sn的表达式，进而得到答案．
（2）由（1）中Sn的表达式，根据n=1时，a1=S1，n≥2时，an=Sn-Sn-1，易求出数列{an}的通项公式，进而根据等差数列的定义，易得到结论．
【解析】
（1）由题意设Sn=an2+bn+c，将A（1，-4），B（2，-4），C（4，8）
代入得，
解之得
∴Sn=2n2-6n，n∈N*．
（2）当n=1时，a1=-4；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-6n-[2（n-1）2-6（n-1）]=4n-8，对n=1也成立．
∴an=4n-8．
∵an+1-an=[4（n+1）-8]-（4n-8）=4（为常数），∴数列{an}是等差数列．