Question

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直线l：y=2x+2上，P₁为直线l与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若问是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-5成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

Answer

（I）令直线中d的y=0等于0求出P1的坐标即得到数列{an}，{bn}的首项，利用等差数列的通项公式求出an，将直线中的x用an
代替求出y的值即}，{bn}的通项公式．
（2）对k分奇数、偶数讨论得到f（k）的值，列出方程求出k的值．
解（I）由题意知P1（-1，0）
∴a1=-1，b1=0
∴an=a1+（n-1）•1=-1+n-1=n-2
∴bn=2an+2=2（n-2）+2=2n-2…6
（Ⅱ）若k为奇数，则f（k）=ak=k-2f（k+5）=bk+5=2k+8
∴2k+8=2（k-2）-5无解
若k为偶数，则f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3
∴k+3=2（2k-2）-5，解得k=4
综上，存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．