Question

将数列{a_n}  中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a₁，a₄，a₈，…构成的数列为{b_n}，已知：
①在数列{b_n}  中，b₁=1，对于任何n∈N^*，都有（n+1）b_n+1-nb_n=0；
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；
③．请解答以下问题：
（1）求数列{b_n}  的通项公式；
（2）求上表中第k（k∈N^*）行所有项的和S（k）；
（3）若关于x的不等式在上有解，求正整数k的取值范围．

Answer

（1）根据题意知 ，因此 ，，…，，将各式相乘得 ；
（2）设上表中每行的公比都为q，表中第1行至第9行共含有数列bn的前63项，故a66在表中第10行第三列．由此可求出上表中第k（k∈N*）行所有项的和s（k）；
（3）先求在上的最大值，再解不等式即可．
【解析】
（1）由（n+1）bn+12-nbn2+bn+1bn=0，bn＞0，
令 得t＞0，且（n+1）t2+t-n=0（6分）
即（t+1）[（n+1）t-n]=0，
所以 （8分）
因此 ，，…，，将各式相乘得 ；
（2）设上表中每行的公比都为q，且q＞0．因为3+4+5+…+11=63，所以表中第1行至第9行共含有数列bn的前63项，故a66在表中第10行第三列，因此又所以q=2．则 k∈N*
（3）当时，∵为减函数，∴最小值为，∴，∴k≥8