Question

关于x的不等式|x+2|+|x-3|＞a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围为    ．

Answer

首先分析题目已知不等式|x+2|+|x-3|＞a恒成立，求k的取值范围，即需要k小于|x+2|+|x-3|的最小值即可．对于求|x+2|+|x-3|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x到点-2的距离加上点x到点3的距离．分析得当x在-2和3之间的时候，取最小值，即可得到答案．
【解析】
已知不等式|x+2|+|x-3|＞a恒成立，即需要k小于|x+2|+|x-3|的最小值即可．
故设函数y=|x+2|+|x-3|，设-2、3、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．
则函数y=|x+2|+|x-3|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．
可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．
即：y=|x+2|+|x-3|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+2|+|x-3|的最小值为5．
即：a＜5．
故答案为：a＜5．