Question

已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2），a₁=2．
（1）是否存在一个实数t，使得数列成等差数列，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，判断S_n与n³+n²的大小，并说明理由．

Answer

（1）由恒为常数，能求出t．
（2）由，知an=（n+1）•2n-2，所以Sn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n-2n，-Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1-4n．两式相减得：-Sn=2•2+22+23+24+…+2n-（n+1）•2n+1+2n=-n•2n+1+2n，Sn=n•2n+1-2n．Sn=n•2n+1-2n=2n（2n-1）=2n[（1+1）n-1]=2n[Cn+Cn1+Cn2+…+Cnn-1]．然后通过分类讨论进行求解．
【解析】
（1）∵恒为常数
∴t=2                                                         （5分）
（2）∵∴an=（n+1）•2n-2（7分）∴Sn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n-2n∴-Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1-4n
两式相减得：-Sn=2•2+22+23+24+…+2n-（n+1）•2n+1+2n=-n•2n+1+2n∴Sn=n•2n+1-2n（10分）∴Sn=n•2n+1-2n=2n（2n-1）=2n[（1+1）n-1]（12分）=2n[Cn+Cn1+Cn2+…+Cnn-1]
当n≥4时，（12分）
当n=3时，S3=3×24-2×3=42＞33+32=36．
当n=1时，S2=2=13+12
当n=2时，S2=4＜23+22=12．
综上可知，当n≥3时，Sn＞n3+n2；当n=2时，Sn＜n3+n2；当n=1时，Sn=n3+n2．（14分）