Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，；
（1）求a_n；
（2）令，，求{c_n}的前n项和T_n；
（3）令（λ、q为常数，q＞0且q≠1），c_n=3+n+（b₁+b₂+…+b_n），是否存在实数对（λ、q），使得数列{c_n}成等比数列？若存在，求出实数对（λ、q）及数列{c_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意知，（an+an-1）（an-an-1-2）=0，由此可知an=2n（n∈N*）．
（2）由题意知c1=b6=b3=a3=6，c2=b8=b4=b2=b1=a1=2，所以，由此可知．
（3）由题设条件知得，由此可以推导出存在，．
【解析】
（1），
∵a1＞0，∴a1=2；
当n≥2时，，
，即（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵an＞0，∴an-an-1=2，∴{an}为等差数列，（2分）
∴an=2n（n∈N*）；（4分）
（2）c1=b6=b3=a3=6，c2=b8=b4=b2=b1=a1=2，（6分）
n≥3时，，（8分）
此时，Tn=8+（22+2）+（23+2）+（2n-1+2）=2n+2n；
∴；（10分）
（3），
令，（14分）
∴存在，．（16分）