Question

已知函数（a、b∈R），
（Ⅰ）若f（x）在R上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2680，试求a和b的值；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数：
（1）是否存在实数b，使得f（x）在为增函数，为减函数，若存在，求出b的值，若不存在，请说明理由；
（2）如果当x≥0时，都有f（x）≤0恒成立，试求b的取值范围．

Answer

（I）第一问根据函数解析式的特征可以判断b=0，再把函数变形后利用三角函数有界性来求解出函数的最值．
（II）第二问利用f（x）为奇函数求出a=0（1）中因为x=是函数的极值即得出b=0（2）先判断函数的单调性再利用其求出函数最值．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）在x∈R上存在最大值和最小值，
∴b=0（否则f（x）值域为R），
∴⇒3y2-4ay+a2-1≤0，
又△=4a2+12＞0，由题意有，
∴a=2010；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数，∵x∈R，∴f（0）=0⇒a=0，
∴，，
（1）若∃b∈R，使f（x）在（0，）上递增，在（，π）上递减，
则，
∴b=0
并且当时，f'（x）＞0，f（x）递增，
当时f'（x）＜0，f（x）递减，
∴当b=0时满足题意．
（2）①
△=4[（1-2b）2+b（1-4b）]=4（1-3b）
若△≤0，即，则f'（x）≤0对∀x≥0恒成立，这时f（x）在[0，+∞）上递减，
∴f（x）≤f（0）=0，
②若b＜0，则当x≥0时，-bx∈[0，+∞），，不可能恒小于等于0，
③若b=0，则不合题意，
④若，
则，f'（π）=-b-1＜0，
∴∃x∈（0，π），使f'（x）=0，x∈（0，x）时，f'（x）＞0，
这时f（x）递增，f（x）＞f（0）=0，不合题意，
综上．