Question

已知△ABC中，（b+a）（sinB-sinA）=asinB，又cos2C+cosC=1-cos（A-B）．
（I）试判断△ABC的形状；
（II）求cosC的值．

Answer

（Ⅰ）利用和差化积公式和二倍角公式对cos2C+cosC=1-cos（A-B）整理求得sinAsinB=sin2C，利用正弦定理换成边的关系，同时利用正弦定理把（b+a）（sinB-sinA）=asinB角的正弦转化成边的问题，然后联立方程求得b2=a2+c2，推断出三角形为直角三角形．
（Ⅱ）利用（1）把sinAsinB=sin2C整理成关于cosx的一元二次方程求得cosC的值．
【解析】
（Ⅰ）由cos2C+cosC=1-cos（A-B）
得cosC+cos（A-B）=1-cos2C，cos（A-B）-cos（A+B）=2sin2C，
即sinAsinB=sin2C，根据正弦定理，ab=c2，①，
又由正弦定理及（b+a）（sinB-sinA）=asinB可知b2-a2=ab，②，由①②得b2=a2+c2，
所以△ABC是直角三角形，且B=90°；
（Ⅱ）∵A+C=90°，∴sin2C=sinAsinB=sinA=cosC，
从而cos2C+cosC-1=0，解得或（舍去），
即．