Question

如图所示，是合肥一中教学区示意图，现有甲乙丙丁4人来校加全国中学语文十校论坛，4人只能从校门进入校园，甲丁必从同一校门进校，甲乙丙3人从哪个校门进校互不影响，且每人从任何一校门进校都是等可能的．
（I）求仅有一人从西大门进入学校的概率；
（II）设4人中从西大门进入校园的人数为随机变量ξ，求ξ的数学期望；
（III）设随机变量，求Eη的最大值．

Answer

（Ⅰ）甲乙丙3人从哪个校门进校互不影响，且每人从任何一校门进校都是等可能的，符合独立重复试验，根据独立重复试验的概率公式得到仅有一人从西大门进入学校的概率．
（II）由题意知4人中从西大门进入校园的人数为随机变量ξ，由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3，4，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式，得到变量的概率，写出分布列，做出期望．
（III）根据所给的随机变量的关系式，对x的值进行讨论，分别求出变量的期望值，把所得的期望值进行比较得到结果．
【解析】
（Ⅰ）甲乙丙3人从哪个校门进校互不影响，且每人从任何一校门进校都是等可能的．
符合独立重复试验，
∴仅有一人从西大门进入学校，
即仅有一人从西大门进入学校的概率是；
（Ⅱ）4人中从西大门进入校园的人数为随机变量ξ，由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3，4，
根据独立重复试验和互斥事件的概率公式，得到变量的概率，
∴ξ的分布列是：

∴
（Ⅲ）当x=0时，Eη（0）=0；当x=1时，；
当x=2时，；当x=3时，；
当x=4时，；
综上有当x=2时，