Question

如图，△ABC和△A₁AC是正三角形，平面A₁AC⊥底面ABC，A₁B₁⊥∥AB，A₁B₁=AB=2，
（I）求直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值大小；
（II）已知点D是A₁B₁的中点，在平面ABCD内搁一点E，使DE⊥平面AB₁C，求点E到AC和B的距离．

Answer

（1）由题意及图形，有已知的面面垂直得到空间中从同一定点出发的三条两两垂直的直线进而建立空间直角坐标系，在利用空间向量知识求出线面角；
（2）由题意及图形利用线面平行的性质进和在三角形中进而求解．
【解析】
∵平面A1AC⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O，
∴A1O⊥底面ABC．
又A1B1=AB=2，△ABC和△A1AC是正三角形，知∠ABC=∠A1AC=60°，
∴AO=1，，BO⊥AC（2分）
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，-1，0），，，C（0，1，0），．
由，可得．
∴，
设平面AB1C的法向量为，则，
解得
由
而AA1与平面AB1C所成角，即向量与平面AB1C的法向量所成锐角的余角，
所以直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为；

（Ⅱ）连接A1B，取AC中点O，连接A1O、BO，
易得A1O⊥AC，所以AC⊥平面A1OB，AC⊥A1B，又四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥A1B，
又A1B⊥AC，∴A1B⊥平面AB1C，过D作DF∥A1B，
很明显DF交AB于E，此时点E到AC和B的距离分别是1、．