Question

已知函数有两个极值点．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若存在实数a，使函数f（x）在区间[b，b+2]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求出函数的导数，由题意知，导数等于0有两个正根，分a＜0和a＞0两种情况讨论．
（Ⅱ）由题意知，∃a∈（0，4），使ax2-4x+1≥0对x∈[b，b+2]恒成立，即 a＞-+=-+4 恒成立，由恒成立，故x≠，由b＞0，根据不在区间[b，b+2]内，求出实数b的取值范围．
【解析】
（Ⅰ），由题意：a≠0，又
①当a＜0时，，f'（x）=0两根异号，不合题意；
②当a＞0时，可知△=16-4a＞0，即0＜a＜4，
此时由f′（x）=0得，，，（4分）
由下表

故当0＜a＜4时，函数f（x）的两个极值点．（6分）
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得“∃a∈（0，4），使ax2-4x+1≥0对x∈[b，b+2]恒成立”，
即 a＞-+=-+4 恒成立，由[b，b+2]⊂（0，+∞）得b＞0，
又恒成立，
∴，，或，从而．（13分）