Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，，n=1，2，3，…．
（I）求证：a_n+1=a_n+，（n=1，2，3…）
（II）求证：；
（III）令b_n=，（n=1，2，3，…），判断b_n与b_n+1的大小，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题设知当n≥1时，，所以，，由此能够导出．
（Ⅱ）由a1=1，，知，当n≥2时，，上此入手能导出．
（Ⅲ）=，由此知bn+1＜bn．
【解析】
（Ⅰ）由于a1=1，a2=2，，易知对∀n≥1，an≠0．
当n≥1时，可得，
从而，
依此递推可得，
从而，（n=1，2，3，）（4分）
（Ⅱ）显然，由a1=1，可知：∀n≥1，an≥1成立，即，
当n≥2时，，
故2＜an2-an-12≤3，于是2＜an2-an-12≤32＜an-12-an-22≤32＜an-22-an-32≤3
2＜a32-a22≤32＜a22-a12≤3
将经上各式相加得2（n-1）＜an2-a12≤3（n-1），
即得；（亦可用数学归纳法）（9分）
（Ⅲ）
=，故bn+1＜bn．（13分）