Question

某公司生产一种产品，每年需要投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经过市场预测得知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当售出的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）．
（Ⅰ）若该公司这种产品的年产量为x（单位：百件，x＞0），试把该公司生产并销售这种产品所得的利润表示为当年产量x的函数；
（Ⅱ）当该公司的年产量多大时，当年所得的利润最大？

Answer

（1）分类讨论：①当0≤x≤5时，②当x＞5时，分别写出函数f（x）的表达式，最后利用分段函数的形式写出所求函数解析式即可；
（2）分别求出当0≤x≤5时，及当x＞5时，f（x）的最大值，最后综上所述，当x为多少时，f（x）有最大值，即当年产量为多少件时，公司可获得最大年利润．
【解析】
（1）当0≤x≤5时，f（x）=R（x）-0.5-0.25x=-x2+4.75x-0.5；
当x＞5时，f（x）=R（5）-0.5-0.25x=12-0.25x，
故所求函数解析式为
（2）0≤x≤5时，f（x）=-（ x-4.75）2+10.78125，∴在x=4.75时，f（x）有最大值10.78125，当x＞5时，
f（x）=12-0.25x＜12-0.25×5=10.75＜10.78125，
综上所述，当x=4.75时，f（x）有最大值，即当年产量为475件时，公司可获得最大年利润．