Question

两家共同拥有一块土地ABC，形状是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=am，如果两家人准备划分一条分割线（直线段），使两家所得土地相等，其中P，Q分别在线段AB，AC上．
（Ⅰ）如果准备在分割线上建造一堵墙，请问如何划分割线，才能使造墙费用最少；
（Ⅱ）如果准备在分割线上栽种同一种果树，请问如何划分割线，才能使果树的产量最大．

Answer

（Ⅰ）要使造墙费用最少，即使PQ最短，利用分割后得面积相等，寻找等量关系，再利用基本不等式求PQ的最小值；
（Ⅱ）要使果树的产量最大，即使PQ最长，利用分割后得面积相等，寻找等量关系，再利用函数的单调性求PQ的最大值
【解析】
设AQ=x，AP=y，，
又，∴．
PQ=．
（Ⅰ）∵，
∴，此时x=y，又．
即取AP=AQ=m时，PQ的长最短，因而造墙费用最少．（6分）
（Ⅱ）∵，∴，
∴．
考察函数，得当时，函数递增，
当时，函数递减，所以函数的最大值，此时．
故当P取在B点，Q取在AC的中点处时，PQ最长，因而果树的产量最大．（12分）